在迭代矩阵代数中，我们需要一个严格的数学框架来度量向量和矩阵的“大小”。这些度量使我们能够判断近似解是否趋近于真实解。向量和矩阵范数将高维数组映射为非负实数，同时保持特定的代数性质，从而限制误差并保证收敛性。
范数的公理化基础
定义 7.1：向量范数
在 $\mathbb{R}^n$ 上的向量范数 $\|\cdot\|$ 必须满足四个条件：
- 非负性： $\|\mathbf{x}\| \geq 0$
- 确定性： $\|\mathbf{x}\| = 0 \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
- 绝对齐次性： $\|\alpha \mathbf{x}\| = |\alpha| \|\mathbf{x}\|$
- 三角不等式： $\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\| \leq \|\mathbf{x}\| + \|\mathbf{y}\|$
主要度量：$l_2$ 与 $l_\infty$
根据 定义 7.2，数值分析中最关键的范数是：
- 欧几里得范数（$l_2$）： $\|\mathbf{x}\|_2 = \{ \sum_{i=1}^n x_i^2 \}^{1/2}$。几何上，表示从原点到该点的最短距离。
- 最大值范数（$l_\infty$）： $\|\mathbf{x}\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$。它捕捉了单个分量的最大绝对值。
这些定义使我们能够将精确解 $\mathbf{x}$ 与近似解 $\mathbf{y}$ 之间的距离定义为 $\|\mathbf{x} - \mathbf{y}\|$（定义 7.4）。
矩阵范数与诱导放大
矩阵范数增加了第五个“次可乘性”性质（定义 7.8）：$\|A B\| \leq \|A\|\|B\|$。
定理 7.11：最大行和
对于一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，其自然的 $l_\infty$ 范数是各行绝对值之和的最大值：
$$\|A\|_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|$$
实例解析：向量与矩阵计算
考虑 $\mathbf{x} = (-1, 1, -2)^t$ 和 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 5 & -1 & 1 \end{bmatrix}$。
向量范数
$\|\mathbf{x}\|_\infty = \max(|-1|, |1|, |-2|) = 2$。$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{6} \approx 2.449$。
矩阵 $l_\infty$ 范数
第 1 行：$|1|+|2|+|-1|=4$第 2 行：$|0|+|3|+|-1|=4$
第 3 行：$|5|+|-1|+|1|=7$
结果：$\|A\|_\infty = 7$。
🎯 核心原理
虽然不同范数下“大小”的具体形式不同， 定理 7.7 但定理 7.7 保证了等价性：在 $l_\infty$ 范数下的收敛性意味着在 $l_2$ 范数下也收敛，反之亦然。
$\|\mathbf{x}\|_\infty \leq \|\mathbf{x}\|_2 \leq \sqrt{n}\|\mathbf{x}\|_\infty$